Liczby zespolone
Osiągnięcia Cardana w dziedzinie matematyki są szczególne: jako pierwszy w historii matematyki nie odrzuca liczb ujemnych będących rozwiązaniami równań kwadratowych, a także wprowadził pojęcie liczb urojonych (zespolonych). Badał, jak rozwiązywać równania trzeciego i czwartego stopnia oraz napisał pierwszą książkę na temat reguł prawdopodobieństwa — choć wydano ją dopiero sto lat po jego śmierci i do tego czasu inni badacze doszli niezależnie do podobnych wniosków.
Teoria
Liczby na płaszczyźnie
Pierwiastek z -1 jest równy tzw. jednostce urojonej, którą umówiono się oznaczać literką i. Zapiszmy zatem jeszcze raz tą kluczową równość:
`sqrt(-1) = i`
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę postaci:
` 5 + i, 1/2 - 2i, pi - sqrt(3)i `
Liczbę `a + bi` można zapisać w postaci punktu `(a, b)`
W związku z tym możemy interpretować liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie. Na osi x-ów będziemy zaznaczać część rzeczywistą liczby zespolonej, a na osi y-ów część urojoną.
Zastosowanie
Eueler i prąd
Trzeba było jednak Leonarda Eulera, który - jak z resztą w wielu innych dziedzinach w końcu skierował całą rzecz na właściwą drogę.
Jako pierwszy odkrył, że można napisać
`e^(ix) = cosx + isinx`
z czego wynika tożsamość Eulera (Najpiękniejszy wzór matematyczny):
`e^(ipi) + 1 = 0`
Tym sposobem dochodzimy do pierwszego wykorzystania liczb zespolonych.
Analiza obwodów prądu przemiennego
Pierwiastki kwadratowe
Niemożliwe, a jednak !
Za pomocą liczb zespolonych mamy możliwość obliczania pierwiastków kwadratowych z ujemnej delty.
Mając równanie kwadratowe określone wzrorem
`iz^2 + iz - 2i = 0`
Stosując operacje na liczbach zespolonych otrzymujemy
`\Delta = -9`
Jednak wciąż jesteśmy w stanie otrzymać pierwiastki równania
`z_1 = \frac{-i - 3i}{2i} = \frac{-4i}{2i} = -2`
`z_2 = \frac{-i + 3i}{2i} = \frac{2i}{2i} = 1`
Kwaterniony
Grafika komputerowa
Do reprezentowania trzech wymiarów przestrzennych Hamilton wykorzystał trzy liczby urojone (i, j oraz k), które nazwał kwaternionami oraz liczbę rzeczywistą, która reprezentowała czas.
`i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1`
Kwaterniony można wykorzystać do obrócenia punktu płaszczyzny wokół arbitrarnie wyznaczonej osi obrotu.
Mając wektor taki jak `(2, 3, 4)` może być rozpisany jako
`2i + 3j + 4k`
Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D
Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące interpolacji (przybliżania)