Logika
Jeśli uznamy, że Evariste Galois zginął najbardziej romantyczna śmiercią w dziejach matematyki, to śmierć Austriaka Kurta Godla jest przypuszczalnie najbardziej tragiczna.
Godel, urodzony w austriacko-węgierskim mieście Brun (dzisiejsze Brno), studiował matematykę w Wiedniu, choć zanim poszedł na studia, posiadł już znajomość matematyki na poziomie uniwersyteckim. Zapisał się na zajęcia prowadzone przez Moritza Schlicka w oparciu o Wprowadzenie do filozofii matematyki Russella i rozsmakował się w logice matematycznej. Wykłady Hilberta zainspirowały go zaś do rozpoczęcia badań zupełności systemów formalnych. W swojej pracy doktorskiej wykazał, że stosunkowo prosta forma logiki matematycznej — rachunek predykatów pierwszego rzędu — jest zupełna: wszystko, co dawało się a) wyrazić w tym systemie, b) było prawdziwe, dawało się udowodnić za pomocą reguł tego systemu. Zabrał się też do rozłożenia Principia Mathematica na kawałki i nie tylko stwierdził, że dzieło zawiera błędy i dlaczego, ale udowodnił też, że taki system nigdy nie może być jednocześnie zupełny, niesprzeczny i rozstrzygalny.
Teoria
Operatory logiczne
Spójnik logiczny `i` w matematyce oznacza się symbolem `∧`. Koniunkcję zdań zapisujemy tak: `p∧q`.
Spójnik logiczny `lub` w matematyce oznacza się symbolem `∨`. Alternatywę zdań zapisujemy tak: `p∨q`.
Implikację w matematyce oznaczamy symbolem `⇒`.Implikację zdań: jeżeli p to q zapisujemy tak: `p⇒q`
Negację w matematyce oznaczamy symbolem `∼`. Negację zdania: nieprawda, że p zapisujemy tak: `∼p`.
Zdania logiczne
W logice matematycznej zajmujemy się tylko takimi zdaniami, którym można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę albo fałsz. Dla obu tych ocen będziemy stosować krótsze oznaczenia: prawdę oznaczamy cyfrą 1 fałsz oznaczamy cyfrą 0
`p∧q` - Koniunkcja
Liczba 7 jest nieparzysta i liczba 10 jest dodatnia. jest koniunkcją dwóch zdań: "liczba 7 jest nieparzysta." oraz "Liczba 10 jest dodatnia.". Oba zdania są prawdziwe, zatem ich koniunkcja również jest prawdziwa.
`p∨q` - Alternatywa
"Liczba 4 jest liczbą parzystą lub liczba 6 jest większa od liczby 34." To zdanie jest alternatywą dwóch zdań: "Liczba 4 jest liczbą parzystą." oraz "liczba 6 jest większa od liczby 34.". Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest fałszywe. Alternatywa tych dwóch zdań jest prawdziwa, ponieważ jedno ze zdań (w tym przypadku zdanie pierwsze) jest prawdziwe.
`p⇒q` - Implikacja
"Jeżeli 2+2=4, to 2-2=0."
To zdanie jest implikacją dwóch zdań: "2+2=4" oraz "2-2=0".
Oba zdania są prawdziwe, zatem ich implikacja również jest prawdziwa.
`p⇔q` - Równoważność
"Jutro pójdę do kina wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda."
Równoważność dwóch zdań p⇔q jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania p i q są równocześnie prawdziwe lub równocześnie fałszywe.
`∼p` - Negacja
"Śnieg nie jest biały"
Negacja zdania ∼p jest prawdziwa tylko wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Zastosowanie
Algebra Boole’a
Algebra Boole'a jest działem matematyki na pograniczu algebry i logiki.
W algebrze Boole'a można wyróżnić trzy podstawowe działania
Sumę (`OR`), Iloczyn(`AND`), Negację(`NOT`)
Rozszerzeniem tych operacji są bramki logiczne.
Bramki logiczne są szeroko wykorzystywane w układach procesorowych, mikrokontrolerach, a co za tym idzie w Informatyce i Elektronice.
Algebra Boole'a jest też podstawą dla instrukcji warunkowych (`if`, `not`, etc.) w programowaniu.
Diagram Venna
Bazy danych
Diagram Venna sprawdza się wszędzie tam, gdzie mając trzy różne zbiory, chcemy znaleźć wspólną część czyli na przykład rozwiązanie.
Przez swoją prostotę oraz to, że do jego użycia nie trzeba posiadać wiedzy z logiki staje się narzędziem dla wielu firm.
Jednym z ciekawszych zastosowań są bazy danych, mając trzy bazy: towary, klienci, pracownicy efektem użycia diagramu Venna jest relacja, czyli część łącząca te trzy zbiory.
Innym ciekawym zastosowaniem jest modelowanie biznesowe. Diagram Venna pozwala uzyskać kompromis w sytuacji kiedy firma posiada wiele środków doraźnych ale nie jest jasne, który z nich spełni oczekiwania.
Diagram Venna ma jednak nie tylko zastosowanie w technologii i biznesie. Co ciekawe okazuję się, że można go wykorzystać do do reprezentacji białek.
